Comment mesurer la taille de la Terre ?


La Terre est probablement la première chose que l’Homme est cherché à mesurer. De cette mesure, nous verrons qu'il possible de déterminer la distance Terre-Lune

, ainsi que la taille de la Lune
, mais également la distance Terre-Soleil
.


Selon Cléomède (IIe siècle de notre ère), la première estimation de la circonférence de la Terre fut réalisée par Ératosthène (vers 283-200 avant notre ère), en partant de l’hypothèse que notre planète devait être sphérique. En effet, depuis le Vème siècle avant notre ère, trois observations permirent aux grecs de conclurent à la rotondité de notre planète :

  • Lors des éclipses de Lune

    , l’ombre de la Terre se projette sur notre satellite. On voit alors clairement que la forme de l’ombre terrestre est un disque.

  • Lorsqu’un bateau s’éloigne à l’horizon, on voit d’abord la coque du bateau disparaître, ensuite les voiles. La réciproque est également observée. Si la Terre était plate, on verrait le bateau toujours en entier, mais de plus en plus petit.

  • Lorsque l’on est sur le bateau, et que l’on navigue vers le sud, on voit de nouvelles étoiles se lever vers l’horizon sud, alors que vers l’horizon nord, les étoiles passent sous l’horizon. Si la Terre était plate, on verrait toujours les mêmes étoiles, quelques soit notre place sur la Terre.

ÉRATOSTHÈNE ENSEIGNANT A ALEXANDRIE PAR BERNADO STROZZI (VERS 1635)

Comme sur la plupart des présocratiques, nous ne connaissons pratiquement rien de la vie d’Ératosthène. Au mieux, nous savons qu'il fut le directeur de la grande bibliothèque d'Alexandrie, pendant le règne de Ptolémée III.


Selon la lègende, Ératosthène remarqua lors d’un voyage à Syène (aujourd’hui Assouan), le jour du solstice d’été, que l’on pouvait observer le reflet du Soleil au fond d’un puits. Il en déduisit que le Soleil devait se situer au zénith (à la verticale du lieu). Or, à Alexandrie, le Soleil ne passe jamais au zénith à midi.

Connaissant la distance entre les deux villes (environ 5000 stades, 1 stade vaut 157 m) grâce aux Bématistes, des arpenteurs du désert qui comptaient leurs pas en marchant, il put estimer la circonférence de la Terre.

Traçons le schéma suivant :

Le Soleil étant considéré à l’infini, ses rayons arrivent de manière parallèle. Au point S (Syène), le rayon du Soleil OS traverse le puits. Nous pouvons le prolonger jusqu’au centre de la Terre (O).


Au point A (Alexandrie), le rayon du Soleil BC forme une ombre avec l’obélisque AB. L’obélisque étant perpendiculaire au sol, le prolongement de la droite AB passe par le centre de la Terre (O).


Nous nous retrouvons dans le cas de deux droites parallèles, coupées par une troisième. En conséquence, l’angle AOS et ABC sont des angles alternes-internes. Ils ont donc la même valeur.


Connaissant la distance AS (5 000 stades), nous cherchons à déterminer la valeur de l’angle AOS. En effet, comme le tour de la Terre est un cercle de 360°, nous pourrons alors déterminer sa circonférence (mais également, le diamètre et le rayon) par une simple règle de trois.

Calcul de la valeur de l’angle ABC à partir de l’ombre de l’obélisque :

Le triangle ABC est rectangle en A. La hauteur de l’obélisque (AB) peut être mesurée sur place, ainsi que la longueur de l’ombre au sol (AC). Connaissant ses deux valeurs, nous pouvons déterminer la valeur de l’angle ABC :

Tan (a) = coté opposé/coté adjacent = 7,2°

Nous avons donc : angle ABC = angle AOS = 7,2°

Calcul de la circonférence de la Terre :

Sachant qu’un angle de 7,2° vaut 5000 stades à la surface de la Terre, combien mesure le tour de la Terre ?

C = (360 x 5 000) / 7,2 = 250 000 stades, soit 39 250 km

Calcul du rayon de la Terre :

A partir de la formule de la circonférence (C=2 x pi x R), on en déduit le rayon de la Terre :

39 250 = 2 x pi x R

R = 39 250/2 x pi

R = 6 250 km

La valeur actuellement admise est 6 378 km. Notre erreur provient de certaines approximations des données afin de simplifier les explications.

REMARQUE : le calcul d’Ératosthène est rendu possible car la ville de Syène se situe approximativement sur le tropique nord (23° de latitude nord). A cette latitude, le Soleil passe au zénith le 21 juin, jour du solstice d’été. Il s’agit justement de la définition du tropique.


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